Four Fours

See also: Five Fives

Four Fours

The goal of this puzzle is to combine 4 4's with any other mathematical symbol, excepting numbers, to produce every whole number from 1 to 20.

You can extend this to 5 5's, and 6 6's, and so on.

A good strategy is to compile a long list of all the numbers you get when you combine one 4, two 4's, three 4's, and so on. This helps you chain together expressions.

Four Fours/Table of 4s - a table of various combinations of 4s

Starting with 4s:

$ 1 = \dfrac{4+4}{4+4} $

$ 2 = \dfrac{4 \times 4}{4 + 4} $

$ 2 = 4 - 4 + 4 - \sqrt{4} $

$ 3 = \dfrac{4 + 4 + 4}{4} $

$ 4 = \sqrt{4} \times \dfrac{4 + 4}{4} $

$ 5 = \dfrac{4 \times 4 + 4}{4} $

$ 6 = 4 \times \dfrac{ \ln{\left( 4+4 \right)} }{ \ln{4} } $

$ 7 = 4 + \sqrt{4} + \dfrac{4}{4} $

$ 8 = 4 + 4 \left( \dfrac{4}{4} \right) $

$ 8 = \sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4} $

$ 9 = 4 + 4 + \dfrac{4}{4} $

$ 10 = 4 + 4 + 4 - \sqrt{4} $

$ 10 = \left( \frac{4}{4} + 4 \right) \sqrt{4} $

$ 11 = 4^{\sqrt{4}} - (4 + i^4) $

$ 11 = \dfrac{44}{\sqrt{4} \sqrt{4}} $

$ 12 = 4 + 4 + \sqrt{4} + \sqrt{4} $

$ 12 = \left( 4 - \frac{4}{4} \right) \times 4 $

$ 13 = \dfrac{44}{4} + \sqrt{4} $

$ 14 = 4 \times \sqrt{4} \times \sqrt{4} - \sqrt{4} $

$ 15 = 4 \times 4 - \dfrac{4}{4} $

$ 16 = \sqrt{4} \sqrt{4} \sqrt{4} \sqrt{4} $

$ 16 = 4 + 4 + 4 + 4 $

$ 17 = 4 \times 4 + \dfrac{4}{4} $

$ 18 = 4 \times 4 + \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 18 = 4^{\sqrt{4}} + \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 19 = 4 \times 4 + 4 - i^{4} $

$ 20 = 4 \times 4 + \sqrt{ 4 \times 4 } $

$ 20 = \sqrt{4} \sqrt{4} + 4^{\sqrt{4}} $

$ 20 = 4 \times \left( 4 + \frac{4}{4} \right) $

$ 21 = 4 \times 4 + 4 + i^{4} $

$ 22 = \dfrac{ \ln{ \left( \left(\sqrt{4}\right)^{44} \right) } }{ \ln{(4)} } $

$ 23 = 4! - i^{4} + 4 - 4 $

$ 24 = 4! \times i^{4} + 4 - 4 $

$ 25 = 4! + i^{4} + 4 - 4 $

$ 26 = 4! + \dfrac{4+4}{4} $

$ 27 = 4! + \dfrac{ \ln{(4+4)} }{ \ln{\sqrt{4}} } $

$ 28 = 4 (\sqrt{4} + i^{4} + 4) $

$ 29 = 4! + 4 + \dfrac{4}{4} $

$ 30 = (4 + i^4)(4 + \sqrt{4}) $

$ 31 = 4 ( 4 + 4 ) - i^4 $

$ 32 = \dfrac{ 4 \times 4 \times 4 }{ \sqrt{4} } $

$ 33 = 4 ( 4 + 4 ) + i^4 $

$ 34 = 4(4+4) + \sqrt{4} $

$ 35 = (4+\sqrt{4})^{\sqrt{4}} - i^4 $

$ 36 = \left( 4 + \dfrac{4}{\sqrt{4}} \right)^{\sqrt{4}} $

$ 36 = 4 \left( \sqrt{4} + i^{4} \right)^{\sqrt{4}} $

$ 36 = 4 \left( 4 \sqrt{4} + i^4 \right) $

$ 36 = 4! + 4 + 4 + 4 $

$ 37 = (4+\sqrt{4})^{\sqrt{4}} + i^4 $

$ 38 = \left( 4 + \sqrt{4} \right)^{\sqrt{4}} + \sqrt{4} $

$ 39 = 4! + 4 \times 4 - i^4 $

$ 40 = 4 (4+4+\sqrt{4}) $

$ 40 = (4+4)(4+i^4) $

$ 41 = 4! + 4 \times 4 + i^4 $

$ 42 = (4!)(\sqrt{4}) - (4+\sqrt{4}) $

$ 43 = (4!)(\sqrt{4}) - (4+i^4) $

$ 44 = (4!)(\sqrt{4}) - (\sqrt{4} + \sqrt{4}) $

$ 44 = \sqrt{4} \left( 4! - \dfrac{4}{\sqrt{4}} \right) $

$ 45 = (4! - \sqrt{4}) + (4! - i^4) $

$ 45 = (4! - \sqrt{4})( \sqrt{4} ) + i^4 $

$ 46 = 4! + 4! - \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 46 = \sqrt{4}(4!) - \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 46 = \sqrt{4} \left( 4! - \sqrt{4} \right) + \sqrt{4} $

$ 47 = 4! \sqrt{4} - \dfrac{4}{4} $

$ 48 = (4!)(\sqrt{4}) \left( \dfrac{4}{4} \right) $

$ 49 = (\sqrt{4})(4!) + \dfrac{4}{4} $

$ 50 = (\sqrt{4})(4!) + \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 51 = (\sqrt{4})(4!) + 4 - i^{4} $

$ 52 = (4!)\sqrt{4} + \sqrt{4}\sqrt{4} $

$ 53 = (4!)(\sqrt{4}) + 4 + i^4 $

$ 54 = 4! + 4! + 4 + \sqrt{4} $

$ 55 = (4!+4) \times \sqrt{4} - i^4 $

$ 56 = 4! \left( \sqrt{4} + \dfrac{i^4}{4} \right) $

$ 56 = 4! + 4! + 4 + 4 $

$ 57 = (4!+4) \times \sqrt{4} + i^4 $

$ 58 = (4!+4) \times \sqrt{4} + \sqrt{4} $

$ 59 = \dfrac{ (4+i^4)! - \sqrt{4} }{\sqrt{4}} $

$ 60 = (4!+4) \times \sqrt{4} + 4 $

$ 61 = \dfrac{ (4+i^4)! + \sqrt{4}}{\sqrt{4}} $

$ 62 = \dfrac{(4+i^4)!+4}{\sqrt{4}} $

$ 63 = \dfrac{4^4 - 4}{4} $

$ 64 = (\sqrt{4})^{\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}} $

$ 65 = (\sqrt{4})^{\sqrt{4}+4} + i^4 $

$ 66 = \dfrac{4^4}{4} + \sqrt{4} $

$ 67 = 44 + 4! - i^4 $

$ 68 = \dfrac{4^4}{4} + 4 $

$ 69 = (4! - i^4)(4-i^4) $

$ 70 = 44 + 4! + \sqrt{4} $

$ 71 = \sqrt{4}(4!) + 4! + i^4 $

$ 72 = 4! \times \dfrac{ \log(4+4) }{ \log{\sqrt{4}} } $

$ 73 = 4!\left( \sqrt{4} + i^4 \right) + i^4 $

$ 73 = 4! \times \sqrt{4} + 4! + i^4 $

$ 73 = 4! \times (4 - i^4) + i^4 $

$ 74 = \left( 4! + \sqrt{4} \right) + 4! \sqrt{4} $

$ 74 = 4! \left( 4 - i^4 \right) + \sqrt{4} $

$ 75 = (4! + i^4)(\sqrt{4} + i^4) $

$ 76 = 4! \left( \sqrt{4} + i^4 \right) + 4 $

$ 76 = 4! \left( 4 - i^4 \right) + 4 $

$ 77 = 4! \cdot 4 - \left( 4 \ln \left( e \cdot e^4 \right) - \ln \left( e \right) \right) $

$ 78 = (4-i^4)(4!+\sqrt{4}) $

$ 79 = (4F)_{4 \cdot 4} \cdot i^4 $

(That is, the number 4F in hex, or base 16.)

$ 80 = \sqrt{4}^{4} \left( 4 + i^4 \right) $

$ 81 = \left( 4 \sqrt{4} + i^4 \right)^{\sqrt{4}} $

$ 82 = 4 \cdot (4! - 4) + \sqrt{4} $

$ 83 = \sqrt{4} \cdot 44 - 4 - \ln (e) $

$ 84 = 4 ( ( 4! - 4) + i^4) $

$ 85 = 44 \sqrt{4} - 4 + \ln (e) $

$ 86 = \sqrt{4} (44 - i^4) $

$ 87 = 44 \sqrt{4} - i^4 $

$ 88 = 44 \left( \dfrac{4}{\sqrt{4}} \right) $

$ 89 = 44 \sqrt{4} + i^4 $

$ 90 = 44 \sqrt{4} + \sqrt{4} $

$ 91 = 4 \cdot 4! - 4 - i^4 $

$ 92 = 4 \left( 4! - \dfrac{4}{4} \right) $

$ 93 = 4 \cdot 4! - 4 + i^{4} $

$ 94 = 4 \cdot 4! - \dfrac{4}{\sqrt{4}} $

$ 95 = 4 \cdot 4! - \dfrac{4}{4} $

$ 96 = 4 ( ( 4! - 4 ) + 4 ) $

$ 97 = 4 \cdot 4! + \dfrac{\log{(4)}}{\log{(4)}} $

$ 98 = \sqrt{4} \left( 4 \sqrt{4} - \ln{(e)}\right)^{\sqrt{4}} $

$ 99 = \left( 4 \cdot 4! \right) + \left( 4 - i^4 \right) $

$ 100 = 4 \left( 4! + \dfrac{\log{(4)}}{\log{(4)}} \right) $